Estudio de las propiedades y de las magnitudes de las figuras en el plano o en el espacio.
Ejemplo
Este curso, aprenderemos mucho sobre Geometría.
Misticismo
Definición
Que incluye misterio.
Ejemplo
Esa historia es muy mística.
Segmentos
Definición
Parte de una recta comprendida entre dos puntos.
Ejemplo
El segmento es una parte de una recta.
Teoremas
Definición
Proposición matemática demostrable.
Ejemplo
El teorema de Tales nos permite calcular la longitud de un segmento.
Vamos a continuar con nuestro paseo matemático. En esta ocasión nos adentraremos en la Geometría, para conseguir una Guía turística matemática de calidad.
Como hemos visto en páginas anteriores, ya conocemos muchos conceptos relacionados con figuras geométricas. Ahora vamos a profundizar en la semejanza de triángulos, además, aprenderemos dos teoremas muy importantes que nos serán de gran utilidad para la realización de nuestra Guía.
¡Va a ser muy entretenido!
Definición
Estudio de las propiedades y de las magnitudes de las figuras en el plano o en el espacio.
Así elaborarás una Guía turística matemática de calidad.
Como hemos visto en páginas anteriores,
ya conoces muchos conceptos relacionados con figuras geométricas.
Ahora vamos a profundizar en la semejanza de triángulos,
y aprenderás dos teoremas muy importantes que nos serán de gran utilidad
para la realización de nuestra Guía.
¡Va a ser muy entretenido!
Definición
Estudio de las propiedades y de las magnitudes de las figuras en el plano o en el espacio.
Ejemplo
Este curso, aprenderemos mucho sobre Geometría.
Lumen dice Segmentos proporcionales
Dos parejas de segmentos son proporcionales cuando podemos escribir una "proporción" (¿lo recuerdas?) entre sus respectivas longitudes.
En la figura, el resultado de dividir la longitud de a entre la de b coincide con el mismo cociente en c y d.
Otra forma muy útil de enunciar esta propiedad es: "El segmento verde pequeño entre el verde grande da el mismo resultado que el amarillo pequeño
entre el amarillo grande".
Como consecuencia, son iguales los productos cruzados, a · d = b · c, lo que nos lleva a expresar una nueva proporción, igual de cierta que la anterior: \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
Y la frase fácil: "El segmento verde pequeño entre el amarillo pequeño da el mismo resultado que el verde grande entre el amarillo grande".
Seguro que recuerdas que esta propiedad nos permite calcular la cuarta cantidad, digamos x, si se conocen las otras tres.
Mira, a partir de la proporción: \(\dfrac{8}{12}=\dfrac{5}{x}\) llegamos a \(8\cdot x = 12\cdot 5\), de donde \(x=\dfrac{12\cdot 5}{8} = 7.5\hspace{3mm}m\)
También vimos en uno de nuestros paseos matemáticos una imagen como ésta:
Precisamente usamos los segmentos proporcionales para obtener la altura del cartel vertical de información.
Definición
Parte de una recta comprendida entre dos puntos.
Ejemplo
El segmento es una parte de una recta.
1. Triángulos semejantes
La semejanza de triángulos es una de las propiedades básicas en la Geometría.
Saber ver una semejanza nos servirá para poder estudiar un triángulo que está a nuestro alcance y obtener propiedades de una figura semejante a él, pero que es más grande e inaccesible.
En general, decimos que dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, aunque pueda cambiar su tamaño, color o posición.
Es como los dos objetos de la imagen:
Diremos que dos triángulos son semejantes no solo si "lo parecen", sino que es preciso comprobar con exactitud matemática si sus seis lados son proporcionales dos a dos y sus seis ángulos son iguales por parejas. Parecen muchos requisitos, ¿verdad?
La semejanza entre un triángulo de vértices ABC y otro A'B'C' se expresa matemáticamente escribiendo \(\textsf{ABC} \sim \textsf{A'B'C'}\).
Es habitual nombrar los ángulos con las mismas letras mayúsculas que los vértices. En cuanto a los lados, se usan las minúsculas correspondientes a los respectivos ángulos opuestos.
Por suerte, para reconocer dos o más triángulos semejantes hay métodos rápidos denominados criterios de semejanza. Dos triángulos son semejantes si:
Tienen dos ángulos iguales (Criterio "de los dos ángulos").
Tienen los tres lados proporcionales (Criterio "de los tres lados").
Tienen dos lados proporcionales y el ángulo que forman es igual en ambos triángulos (Criterio "de los dos lados y su ángulo").
Oye, una cosa más: Se define la razón de semejanza, r, entre las dos figuras como el cociente entre las longitudes de dos lados correspondientes. No lleva unidades, es un número y ya está.
En la figura anterior: \(\dfrac{a_2}{a_1}=r\), y también \(\dfrac{b_2}{b_1}=r\) y \(\dfrac{c_2}{c_1}=r\).
Si te das cuenta, despejando, cada lado rosa (que son los del triángulo mayor) se obtiene multiplicando r por su correspondiente pequeño, en el celeste:
\(a_2=a_1\cdot r ; \hspace{5mm} b_2=b_1\cdot r ; \hspace{5mm} c_2=c_1\cdot r \)
Lectura facilitada
La semejanza de triángulos
es una de las propiedades básicas en la Geometría.
Saber ver una semejanza nos servirá para poder estudiar un triángulo
que está a nuestro alcance y obtener propiedades de una figura semejante a él, pero que es más grande e inaccesible.
En general, decimos que dos figuras son semejantes
si tienen la misma forma, aunque pueda cambiar su tamaño, color o posición.
Es como los dos objetos de la imagen:
Diremos que dos triángulos son semejantes no solo si "lo parecen",
sino que es preciso comprobar con exactitud matemática
si sus seis lados son proporcionales dos a dos
y sus seis ángulos son iguales por parejas.
Parecen muchos requisitos, ¿verdad?
La semejanza entre un triángulo de vértices ABC y otro A'B'C'
se expresa matemáticamente escribiendo ABC∼A'B'C'.
Es habitual nombrar los ángulos
con las mismas letras mayúsculas que los vértices.
En cuanto a los lados, se usan las minúsculas
correspondientes a los respectivos ángulos opuestos.
Por suerte, para reconocer dos o más triángulos semejantes hay métodos rápidos denominados criterios de semejanza.Dos triángulos son semejantes si:
Tienen dos ángulos iguales (Criterio "de los dos ángulos").
Tienen los tres lados proporcionales (Criterio "de los tres lados").
Tienen dos lados proporcionales y el ángulo que forman es igual en ambos triángulos (Criterio "de los dos lados y su ángulo").
Oye, una cosa más:
Se define la razón de semejanza, r, entre las dos figuras
como el cociente entre las longitudes de dos lados correspondientes.
No lleva unidades, es un número y ya está.
En la figura anterior: a2a1=r, y también b2b1=r y c2c1=r.
Si te das cuenta, despejando, cada lado rosa
(que son los del triángulo mayor)
se obtiene multiplicando r por su correspondiente pequeño,
en el celeste:
a2=a1⋅r;b2=b1⋅r;c2=c1⋅r
Ejemplos
Vamos a practicar con un par de ejemplos todo lo que estás viendo.
Un triángulo de vértices ABC y ángulos conocidos A = 32º y C = 58º y otro A'B'C', del que sabemos A' = 32º y B' = 90º son semejantes. ¿Por qué?
Nuestro razonamiento va hacia el criterio de los dos ángulos. Resulta que la suma de los tres ángulos ha de ser 180º para todos los triángulos.
El ángulo B es desconocido, pero vemos que:
A + B + C = 180º; 32º + B + 58º = 180º; B = 180º - (32º + 58º) = 180º - 90º = 90º
Entonces, hemos llegado a que A = A' y B = B', luego ambos triángulos son semejantes, \(\textsf{ABC} \sim \textsf{A'B'C'}\). Por cierto, ¿qué pasa con el tercer ángulo?
Dos triángulos ABC y A'B'C' son semejantes. Los lados conocidos del primero miden (cm): \(a_{1}=3.5 ; \hspace{4mm} b_{1}=4.5 ; \hspace{4mm} c_{1}=6 \) En el segundo triángulo, \(a_{2}=14 ; \hspace{4mm} b_{2}=? ; \hspace{4mm} c_{2}=24 \). Calcula \(b_{2}\) y la razón de semejanza.
>>> La respuesta es \(b_{2}=18\hspace{2mm}cm\) y la razón de semejanza es \(r=\dfrac{c_2}{c_1}=\dfrac{24}{6}=4 \)
2. Teorema de Thales
El teorema de Tales trata sobre segmentos proporcionales,
concretamente los que se determinan cuando dos rectas secantes son cortadas por varias rectas paralelas.
Los segmentos a, b, c y d de la figura forman una proporción.
Ya lo sabíamos, pero la novedad es que ahora nace en una situación con figuras geométricas.
Podrá serte de utilidad un concepto más: los pares de triángulos que están "en posición de Thales".
Dos triángulos están en posición de Thales si dos de los lados de cada uno están sobre las mismas rectas y los otros lados son paralelos.
Para entender la figura, imagina que las rectas r y s anteriores se han prolongado hasta cortarse en el punto O.
También hemos suprimido la tercera recta azul discontinua.
En esta situación, se puede demostrar que los dos triángulos OAC y OBD son semejantes y, por tanto,
sus tres ángulos son iguales y sus parejas de lados respectivos son proporcionales.
Ángulos: O = O, A = B, C = DLados: \(\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{OD}{OC}=\dfrac{BD}{AC}\)
Te darás cuenta de que esta última fracción no aparecía en el teorema de Thales.
Definición
Proposición matemática demostrable.
Ejemplo
El teorema de Tales nos permite calcular la longitud de un segmento.
Un ejemplo
Determina la longitud del segmento x de la figura (las medidas van todas en mm).
Para resolverlo, observamos que los triángulos OAC y OBD están encajados en posición de Thales. Eso significa automáticamente que son semejantes.
Aquí nos encontramos con una situación confusa que debemos aclarar:
Podemos aplicar el teorema de Thales a los cuatro segmentos 14, x, DC, 9. ¡Pero no conocemos DC!
Es posible considerar la semejanza de los dos triángulos, con los seis lados bien identificados. Ojo, tengamos presente que 14 y DC no intervienen, no son "lados" completos.
En esta segunda visión del problema, la semejanza se traduce numéricamente en: \(\dfrac{14+x}{x}=r\), y también \(\dfrac{18}{6}=r=3\). Por tanto:
\(\dfrac{14+x}{x}=3 \rightarrow 14+x=3 \cdot x \rightarrow 14=2x \rightarrow x=7\)
>>> La longitud del segmento x de la figura es 7 mm.
Kardia dice Un poco de historia. Thales de Mileto
El matemático y filósofo griego Tales (o bien Thales) está considerado como el más influyente de los "Siete sabios de Grecia".
Miembro destacado de la Escuela de Mileto, su ciudad natal, se interesó por la Astronomía y la política, ¡cómo no!
No está mal este pensamiento que se le atribuye: "Para ser feliz, es preciso tener buena salud, fortuna mediana y buena instrucción".
Aquí nos dedicamos a lo último.
Lectura facilitada
El matemático y filósofo griego Tales (o bien Thales)
está considerado como el más influyente de los "Siete sabios de Grecia".
Miembro destacado de la Escuela de Mileto, su ciudad natal,
se interesó por la Astronomía y la política, ¡cómo no!
No está mal este pensamiento que se le atribuye:
"Para ser feliz,
es preciso tener buena salud,
fortuna mediana y buena instrucción".
Aquí nos dedicamos a lo último.
3. Teorema de Pitágoras
Como ya sabemos, en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Esta importante herramienta matemática se usa en ejercicios de cálculo directo para obtener la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo conociendo lo que miden los catetos.
Hay muchas formas de expresar el teorema, con unas letras, con otras, letras y números, etc. Lo que es inevitable es efectuar cuadrados y raíces cuadradas, ya sean exactas o no.
Ejemplo. Calculamos la hipotenusa
Determina la longitud de la hipotenusa x de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 9 cm y 12 cm.
Con estos números y letras, la fórmula del teorema de Pitágoras queda así: \(x^2=9^2+12^2\)
Calculamos la longitud x: \(x^2=81+144 \rightarrow x^2=225 \rightarrow x=\sqrt{225}=15\hspace{2mm}cm\)
También podemos sacar la longitud de un cateto a partir de los valores de la hipotenusa y del otro cateto, despejando en la expresión inicial que sea.
Otro ejemplo. Calculamos un cateto
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2 metros y medio. Halla el cateto mayor, sabiendo que el menor mide metro y medio.
En esta ocasión, la expresión matemática del teorema es: \(2.5^2=x^2+1.5^2\rightarrow 6.25=x^2+2.25 \rightarrow x^2=4 \rightarrow x=\sqrt{4}=2\hspace{2mm}m\)
En nuestro estudio de las diversas situaciones cotidianas podemos encontrarnos con la necesidad de saber una cantidad y no poder disponer de un triángulo rectángulo claramente dibujado.
Por tanto, ahí entra nuestra formación matemática y nuestra imaginación.
Un problema real
Tenemos un tubo metálico cuya longitud en cm coincide con la expresión \(30\sqrt{2}\). Queremos colocarlo atravesado de esquina a esquina en el interior de un marco cuadrado. ¿Cuánto medirán los lados de ese marco?
Como vemos, ¡no se nos dice nada de triángulo o de teorema alguno!
Una vez repuestos, todavía algo sorprendidos, no nos queda otra que poner en marcha la creatividad matemática.
Está claro que hay un cuadrado de lados desconocidos. Llamamos x a cualquiera de ellos. Y que sabemos que el tubo encajará en su diagonal.
Probamos a dibujar un esquema:
Ahora sí vemos un triángulo rectángulo. De hecho hay dos, a elegir. Que los catetos midan lo mismo no es un
problema, el teorema de Pitágoras sigue siendo infalible.
Tendremos que recordar las operaciones con potencias y raíces.
Kardia dice Un poco de historia: Pitágoras de Samos
Se considera a Pitágoras como uno de los más importantes filósofos y matemáticos griegos.
Su nombre está vinculado a su famoso teorema y a la escuela por él fundada,
la cual dio un impulso importante al desarrollo y evolución de las matemáticas en la Grecia antigua.
Aunque la Biografía de Pitágoras es escasa en cuanto a datos fidedignos,
su relevancia está inmersa también en el área de la historia de las ideas, ya que su pensamiento,
matizado todavía con el esoterismo y el misticismo de las viejas religiones orientales,
instauró una diversidad de temas y problemas que, mediante Platón,
dejaron una profunda huella en la tradición occidental.
El misterio siempre rodeó a la Escuela Pitagórica.
Al parecer, sus discípulos debían esperar unos cuantos años para ser presentados al maestro
y siempre guardaban un estricto secreto sobre las enseñanzas recibidas.
En el caso de las mujeres, sí podían formar parte de la Comunidad.
Se sabe que la más célebre de sus seguidoras fue Teano,
probablemente esposa del propio Pitágoras y madre de tres de sus hijos.
Definición
Digno de ser creído.
Ejemplo
Ese relato es fidedigno.
Definición
Oculto, reservado.
Ejemplo
Esa historia es esotérica.
Definición
Que incluye misterio.
Ejemplo
Esa historia es muy mística.
Lectura facilitada
Se considera a Pitágoras como uno de los más importantes
filósofos y matemáticos griegos.
Su nombre está vinculado a su famoso teorema y a la escuela por él fundada , la cual dio un impulso importante al desarrollo
y evolución de las matemáticas en la Grecia antigua.
Aunque la Biografía de Pitágoras es escasa en cuanto a datos fidedignos,
su relevancia está inmersa también en el área de la historia de las ideas,
ya que su pensamiento, matizado todavía
con el esoterismo y el misticismo de las viejas religiones orientales,
instauró una diversidad de temas y problemas
que, mediante Platón, dejaron una profunda huella en la tradición occidental.
El misterio siempre rodeó a la Escuela Pitagórica.
Al parecer, sus discípulos debían esperar unos cuantos años
para ser presentados al maestro
y siempre guardaban un estricto secreto sobre las enseñanzas recibidas.
En el caso de las mujeres, sí podían formar parte de la Comunidad.
Se sabe que la más célebre de sus seguidoras fue Teano,
probablemente esposa del propio Pitágoras y madre de tres de sus hijos.
4. Valores ocultos
Has visto como tanto usando los segmentos proporcionales como los teoremas de Thales y Pitágoras podemos calcular distancias ocultas y valores inaccesibles.
Verás lo fácil que te resulta solo tienes que poner en práctica lo aprendido en estas actividades que te proponemos.
Ahora que has completado el rompecabezas, ¿serías capaz de enunciar el teorema de Pitágoras?
Para ayudarte, te damos una pista.
Al rellenar los dos cuadrados más pequeños usando todas las piezas, recubrimos sus áreas, ¿verdad?
Cuando usamos todas las piezas para montar el cuadrado más grande, nuevamente llenamos su área.
Entonces, ¿cuál es la relación entre el área de las figuras más pequeñas y la más grande?
Al responder a esta pregunta, podrás enunciar el teorema de Pitágoras. Puedes hacerlo con la fórmula o bien descrito con palabras (hipotenusa, catetos...).
Opción D: En un mapa real
Ahora tienes la oportunidad de completar un gran trabajo.
Tendrás que encontrar las soluciones de estos ejercicios, que son más complejos que los habituales. Te vamos a guiar poco a poco, descuida.
Se nos pide calcular algunas medidas de segmentos en un triángulo muy especial: el triángulo equilátero.
Lo mejor es que vayas dibujando y calculando en tu cuaderno.
1º) En una zona cerca de Motril (Granada) hay tres puntos que están separados una distancia idéntica entre sí. A vista de pájaro, forman un triángulo equilátero.
Con la ayuda de un dron hemos obtenido esta foto:
Al ser un polígono regular, el triángulo equilátero ABC tiene en su interior un punto que equidista de los vértices (se llama "circuncentro", como veremos en una página más adelante). Vamos a llamarle G.
Se puede localizar trazando los segmentos que van respectivamente desde cada vértice al punto medio del lado opuesto. Los puntos medios de los lados son M, H y P.
Mira la figura.
Lo especial del caso es que la distancia desde ese punto G a cada vértice es el doble que al punto medio del lado opuesto:
AG = 2 · GP; BG = 2 · GM; CG = 2 · GH.
Puedes dibujar ahora (marcando la escala en el mapa) la figura del triángulo equilátero, su circuncentro y la circunferencia centrada en él y que pasa por los tres vértices, sabiendo que tiene radio 10 km.
2º) Tienes que calcular la distancia entre cada punto A, B, C del mapa y el que está a cualquiera de sus lados. Es decir, la longitud de cada lado del triángulo.
Para ello, aplica el hecho que hemos comentado antes y podrás calcular GM, por ejemplo.
Luego, usa el teorema de Pitágoras en el triángulo de lados AG, GM, AM. Despeja AM y eso es la mitad de la distancia que estamos buscando.
Ojo, el resultado que sale es una raíz no exacta. Puede expresarse mediante las propiedades de los radicales o aproximarse con decimales.
¡Ánimo!
PASO 3: Reviso lo que aprendo
Reflexiona un momento sobre todo lo que has aprendido hasta llegar aquí. Y completa el PASO 3 de tu Diario de Aprendizaje (Reviso lo aprendido).
Recuerda:
• Pregunta a tu profesor o profesora si la rellenarás en papel o en el ordenador.
• Si la rellenas en el ordenador, ¡no te olvides de guardarla en tu ordenador cuando la termines!
¡Ánimo, que lo harás genial!
Mótus dice Déjame ver...
¿Cuántas veces te has distraído al hacer la actividad?
Seguro que cuando estabas haciendo esta actividad ha ocurrido algo que te ha hecho parar. Puede que alguien pegase a la puerta, que el profe haya hablado con alguien, que hayas oído un ruido en la calle, que te hayas acordado de algo que hiciste ayer…
Cuando aprendemos estamos rodeados de cosas que nos pueden distraer. Al volver a la actividad te cuesta más trabajo centrarte.
Por eso es importante que aprendas a controlar tus distracciones. Te doy algunos consejos:
- Concéntrate bien en la actividad que tienes que realizar.
- Si tiene muchos pasos o es muy difícil, haz descansos cortos para descansar.
- Si te molesta lo que hay a tu alrededor trata de ver si puedes reducirlo: cierra las ventanas, pide silencio.
- Piensa que si te distraes tardarás más tiempo en terminar.
